NEIVA MARIA HANSEN
SANTA CRUZ DO SUL – UNISC
SEMINÁRIO INTEGRADOR V
PRODUÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO – MÓDULO I
Conteúdo a ser trabalhado:
· Função de 1⁰grau com uma variável.
· Movimento Retilíneo Uniforme
A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática , mas colocado em prática em áreas como a física e a química. Na matemática, o estudo de função se dividi basicamente em:
· Características, tipos e elementos da função;
· Função de 1⁰ grau.
Nem sempre prcebemos, mas estamos em contato contato com as funções nos nosso dia-a-dia, como por exemplo:
Quando assistimos TV ou quando lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação entre duas grandezas, ou at’é mesmo uma função, mas representada graficamente. Chama-se de função polinomial de 1 grau ou função afim, a função dada por uma lei da forma f(x) = ax + b.
Um exemplo pratico de função é: o valor que iremos pagar no final do mês na conta de água e energia de nossas casas está em função ( está dependendo) de quanto iremos gastar em m3 de água e quantos KW de energia foram consumidos durante o mês. Essa relação é uma função.
A matemática e a física são duas ciências que andam lado a lado. Podemos afirmar que a física é uma aplicação da matemática. Há diversas áreas da física que utilizam o conceito de função para explicar alguns fenômenos. No estudo da cinemática (ramo da física que estuda os movimentos dos corpos) o uso de funções do primeiro grau ou funções afim é muito comum. Uma das funções afim usadas na cinemática é a que relaciona a posição (S) de um móvel em movimento uniforme ( movimento com velocidade constante ) com o tempo (t), chamada de função horária do espaço em relação ao tempo. O modelo matemático que define essa função é:
S = S0 + v∙t
Onde,
S0 → é o espaço inicial do móvel (lugar que ele ocupa no instante t = 0)
v → é sua velocidade escalar.
Vamos fazer uma comparação entre a expressão acima e a expressão que define uma função afim.
S = S0 + v∙t
y = b + a∙x
S = S0 + v∙t
Onde,
S0 → é o espaço inicial do móvel (lugar que ele ocupa no instante t = 0)
v → é sua velocidade escalar.
Vamos fazer uma comparação entre a expressão acima e a expressão que define uma função afim.
S = S0 + v∙t
y = b + a∙x
INTRODUÇÃO
Movimento Retilíneo Uniforme. Este tipo de movimento se define por variações de espaços iguais em intervalos de tempo iguais, em outras palavras a velocidade é constante.
Observe no nosso exemplo que o rapaz percorre espaços iguais em tempos iguais. Ele leva 2 s para percorrer cada 10 m, ou seja, quando está a 10 m se passaram 2 s, quando está em 20 m se passaram 4 s e assim sucessivamente, de tal forma que se calcularmos sua velocidade em cada uma das posições descritas (comparadas com a posição inicial), teremos:
Portanto quando falamos de MRU não tem mais sentido em utilizarmos o conceito de velocidade média, já que a velocidade não se altera no decorrer do movimento, logo passaremos a utilizar:
v = vm
FUNÇÃO HORÁRIA DO MRU
A função horária de um movimento, representa o endereço de um móvel no tempo, ou seja, ela fornece a posição desse móvel num instante qualquer. Com ela seremos capazes de prever tanto posições futuras do movimento, como conhecer posições em que o móvel já passou.
A seguir deduziremos a função s = f (t) para o MRU e como ponto de partida utilizaremos a definição de velocidade.
A seguir deduziremos a função s = f (t) para o MRU e como ponto de partida utilizaremos a definição de velocidade.
Observe o esquema abaixo:
• O móvel parte de uma posição inicial so no instante t = 0;
• Num instante t qualquer ele estará na posição s.
• Num instante t qualquer ele estará na posição s.
Demonstração
Partindo da definição da velocidade:
Aplicando as observações descritas acima, temos:
Simplificando a expressão, temos que:
Isolando o espaço s, fica:
Portanto a Função Horária do MRU é dada por:
Função de 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a
0.
0. Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é ( 0, -1 ).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x=1/3 e outro ponto é ( 1/3,0 ).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, x=1/3 e outro ponto é ( 1/3,0 ).
Marcamos os pontos ( 0, -1 ) e ( 1/3, 0 ) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
 |  |
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Função de 1º grau
Zero e Equação do 1º Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que f(x) = 0.
0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos:
f(x) = 0 → ax + b = 0 → x = - b/a
Vejamos alguns exemplos:
- Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0 2x - 5 = 0 x = 5/2 - Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2
- Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abicissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5
Crescimento e decrescimento
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
|
Regra geral:
a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
- para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
- para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2
Tipos particulares de funções
FUNÇÃO CONSTANTE
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x .
Veja o gráfico a seguir:
FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a 0 .
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Exemplos :
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).
Propriedades da função do 1º grau :
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b 0 f é dita função afim .
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) -excepcional matemático suíço - 1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a 0 , então f é crescente .
7) se a 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) -excepcional matemático suíço - 1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .
6) se a 0 , então f é crescente .
7) se a 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.
SEMINÁRIO INTEGRADOR - MÓDULO II
Estratégias didático-pedagógicas e recursos que serão utilizadas ao se trabalhar o conteúdo.
1-Aulas expositivas com explicações referentes ao tema funções , revisão de equações de 1º grau e relações dentre ambas, relação das equações com o Movimento Retilíneo Uniforme.
2- Livros didáticos diversos oriundo da biblioteca da escola e de bibliotecas virtuais.
3- Atividades referente ao conteúdo trabalhado (exercícios e situações - problemas).
4- Analisar e interpretar gráficos.
5- Softwares e vídeos educativos que abordem o conteúdo proposto:
Propor aula no laboratório da escola com o objetivo de ensinar a manusear os softwares para construção de gráficos, após ter sido construído manualmente, para fazer um comparativo.
MÓDULO III – Atividade prática
Experiência
Ao término das tarefas, o aluno deverá ser capaz de:
- reconhecer o MRU;
- determinar a velocidade média de um móvel;
- construir um gráfico da variação da posição em função do tempo, a partir dos dados experimentais;
- fornecer a função horária de um móvel em MRU, a partir de suas observações.
- 1 tubo de vidro;
- 1 seringa;
- 1 cronometro digital;
- componente variados: fita colante, gel de glicerina, suporte para fixação do tubo de vidro papel milimentrado.
Monte o aparato experimental conforme a figura abaixo:
.Utilize a montagem para o estudo do MRU. Para facilitar o estudo deste movimente gradue o tubo de vidro da seguinte maneira, recorte o papel milimetrado em forma de tira e cole com fita colante ao longo do tubo, marque intervalos de 5 à 5 centímetros. Aperte a seringa para analisar o tempo de subida da bolha de ar. Determine as posições e seus respectivos tempos associados com a ajuda do cronometro.
a. Solte a bolha de ar abaixo do tubo e observe seu movimento até o final. Sua velocidade é a mesma em todo o trajeto? Justifique.
b. Qual tamanho da bolha de ar é melhor? Porque?
c. Observe as posições marcadas ao do tubo de vidro: a distância entre cada ponto deve ser de 5cm.
Complete:
S0 = 0 cm |
S1= 5 cm |
S2 = |
S3 = |
S4 = |
S5 = |
S6 = |
S7 = |
d. Solte a bolha na posição inicial (S0) e com o auxílio de um cronômetro complete a tabela abaixo.
Sabendo que 
, em cada intervalo temos:
, em cada intervalo temos:S (cm) | t (s) | t = tf-ti (s) | vm (cm/s) |
0 | |||
5 | |||
10 | |||
15 | |||
20 | |||
25 | |||
30 |
e. A velocidade encontrada é constante? Justifique.
f. Conhecendo o valor da velocidade média (vm) em cada intervalo de tempo, pode-se determinar as velocidades instantâneas.
Lembre-se que: 
Escolhendo os valores das velocidades médias no item anterior, complete:
g. Conhecendo o valor da velocidade instantânea para cada intervalo de tempo e de posição complete as tabelas seguintes.
I | II | ||
Tempo (s) | Velocidade (cm/s) | Tempo (s) | Posição (cm) |
t0 = 0 | v0 = | t0 = 0 | S0 = |
t1 = | v1 = | t1 = | S1 = |
t2 = | v2 = | t2 = | S2 = |
t3 = | v3 = | t3 = | S3 = |
t4 = | v4 = | t4 = | S4 = |
t5 = | v5 = | t5 = | S5 = |
h. Com os valores estabelecidos nas tabelas I e II, construa os gráficos v t e S t no papel milimetrado.
i. A velocidade permanece constante? Justifique
j. Pelo gráfico v t formado, você classificará este movimento em MRU ou MRUV.
k. Pelo gráfico S t obtido, você classifica o movimento em MRU? Justifique sua respost
EXERCÍCIOS DE FÍSICA -
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (MRU)
1. A equação horária de um MRU é S = 50 - 5t (SI ). Faça um esquema do movimento na trajetória orientada e responda:
a) o MRU é progressivo ou regressivo ?
b) em que posição o móvel se encontra em t = 20s
c) em que instante o móvel passa na origem?
d) em que instante o móvel passa na posição 40m?
e) qual a distancia percorrida em 4s?
b) em que posição o móvel se encontra em t = 20s
c) em que instante o móvel passa na origem?
d) em que instante o móvel passa na posição 40m?
e) qual a distancia percorrida em 4s?
2. Complete a tabela abaixo de modo que represente um movimento uniforme :
t(s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
s(m) | -4 | -4 | 5 | 11 | 14 | 20 |
3. Complete a tabela abaixo de modo que represente um movimento uniforme de velocidade escalar V = -4m/s.
t(s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
s(m) | 16 |
4. Um automóvel parte de um local situado 20km à esquerda de uma cidade A, dela se aproximando com velocidade escalar constante de 50km/h. Determine
a) a equação horária do seu movimento. b) a posiçao do automóvel 5h após o instante em que ele passa pela cidade Ac) em que instante passa pelo km 300 à direita da cidade A |
5. No instante em que se iniciou a marcar o tempo, um móvel está 80m à direita de um ponto Q , dele se aproximando com velocidade escalar constante de 144km/h.Determine:
a) a equação horária do seu movimento b) a posição do móvel em t = 30s c) o instante em que passa pelo ponto Q d) a distancia que percorre entre t = 1s e t = 15s. |
6. Dois móveis partem simultaneamente um de encontro ao outro com velocidade Va = 7,5m/s e Vb = 17,5 m/s. A distancia que os separa é de 1500 metros. Determine após quanto tempo ocorre o encontro e qual a distancia que cada um percorre até esse instante.
7. Um trem com velocidade escalar constante de 72km/h, leva 1 minuto para atravessar um túnel de 800m de comprimento. Qual é o comprimento do trem?
8. Dois móveis A e B partem simultaneamente percorrendo uma mesma trajetória retilínea com velocidades escalares constantes de 30km/h e de 10km/h, ambos em movimento progressivo. O móvel A parte de um local 7km à esquerda de uma cidade C e o móvel B parte de um local situado 3km à direita da mesma cidade. Determine:
a) as equações horárias dos movimentos de A e B
b) o instante em ocorreu a ultrapassagem.
c) a posição da ultrapassagem.
d) a distancia que cada um percorreu até a ultrapassagem.
a) as equações horárias dos movimentos de A e B
b) o instante em ocorreu a ultrapassagem.
c) a posição da ultrapassagem.
d) a distancia que cada um percorreu até a ultrapassagem.
9.Dois barcos partem simultaneamente de um mesmo ponto, seguindo rumos perpendiculares entre si. Sendo de 30km/h e 40km/h suas velocidades, quanto vale a distancia entre eles após 6 minutos ?
10. Escreva as equações horárias da posição em função do tempo para os movimentos uniformes referentes às tabelas a seguir:
s(m) | 10 | 15 | 20 | 25 |
t(s) | 0 | 1 | 2 | 3 |
s(m) | 50 | 40 | 30 | 20 |
t(s) | 0 | 1 | 2 | 3 |
11. Dois motociclistas A e B partem de um mesmo ponto de uma estrada reta com velocidades escalares constantes de 36km/h e 108km/h. Sabendo que se movem ambos em movimento progressivo e que B parte 3 segundos após a partida de A , determine: a) o instante do encontro em relação a partida de B b) a posição do encontro |
12. Um móvel animado de MRU possui uma velocidade de 12 m/s. No instante inicial ele se encontra na posição -42 m. Se o movimento é regressivo:
a) escrever a equação horária do movimento
b) qual sua posição no instante 4.
a) escrever a equação horária do movimento
b) qual sua posição no instante 4.
Questões:
01. (UNIFOR) A função f, do 1° grau, é definida por f(x) = 3x + k. O valor de k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é:a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
02. (EDSON QUEIROZ - CE) O gráfico abaixo representa a função de ℝ em ℝ dada por f(x) = ax + b (a, b Îℝ). De acordo com o gráfico conclui-se que:
a) a < 0 e b >0
b) a < 0 e b < 0
c) a > 0 e b > 0
d) a > 0 e b < 0
e) a > o e b = 0
b) a < 0 e b < 0
c) a > 0 e b > 0
d) a > 0 e b < 0
e) a > o e b = 0
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